文 / 中国工商银行软件开发中心
近年来，量子计算技术快速发展，谷歌“悬铃木”、中国科学技术大学“祖冲之”和“九章”等量子计算机先后在特定问题的计算效率方面超越了经典超级计算机，展示了量子计算具备算力指数级提升的潜力。全球主要大国均将量子计算作为战略科技，积极推进技术研究与应用探索。量子计算属于前沿技术，其算法设计与编程要求相关人员具备量子计算、数学和计算机科学等综合能力，门槛较高。本文从组合优化类问题切入，探索量子计算编程框架与传统建模工具的融合应用，以期降低量子算法的设计与编程门槛，为同业开展量子计算金融应用探索提供参考借鉴。
量子计算金融应用面临算法实现难度高的挑战
工商银行积极开展量子计算的金融应用探索，先后完成了期权定价、债券投资组合优化、企业债券风险预测等场景的量子算法应用验证，覆盖了组合优化、随机建模和机器学习三大量子计算金融应用研究方向。从目前的实践情况看，除了受量子计算硬件技术条件限制，仅能基于简化的业务场景和较小的数据样本进行量子算法的验证外，量子算法设计与编程难度较高也是当前应用研究面临的一大挑战。
当前量子计算软件的发展还处在起步阶段，可辅助编程的集成化软件和工具较少，对研究人员技能要求较高。以金融场景下量子算法设计为例，首先需要将金融业务规则抽象为数学模型，再基于数学模型设计其量子线路表示，结合已有的量子基础算法，实现对应的量子金融应用算法，最后再使用量子计算机或者模拟器进行验证，整个过程需要研究人员综合应用量子计算、数学、计算机科学等多学科的专业能力，并对金融业务有较为深入的理解，难度较高（如图1所示）。
为降低量子计算应用难度，工商银行研究团队针对组合优化这类典型应用，探索了量子计算和传统建模工具融合的求解方案，并与基于通用线路结构的量子算法编程方案进行对比，证明了融合求解方案在编程难度和求解效率方面均具有优势。
研究组合优化场景下量子编程与传统建模融合的简化求解方案
组合优化也被称为离散优化，指在有限个可能解的集合中找出最优解的优化问题，是运筹学的一个应用分支。典型的组合优化问题包括旅行商问题、背包问题、图着色问题等，相关研究可以应用到金融场景的股票或基金的投资组合管理、交易策略选择等领域，用于提升组合选择的时效和整体收益，应用较为广泛。
1.组合优化问题的传统求解流程。针对组合优化类问题，业界已有较为成熟的传统解决方案，一般先对业务问题使用建模语言/工具进行数学建模并将模型保存在优化文件中，然后将文件导入优化求解器，使用求解器内置的优化算法来求解问题。优化文件中的数学模型主要由决策变量、约束条件、目标函数三部分组成。
决策变量是指问题中的变量，解决业务问题就是寻找合适的决策变量值，使决策变量在满足约束条件的情况下，使得目标函数最大或最小。
约束条件指决策变量需满足的条件，数学上通常表示为需要满足一组等式或不等式。例如，设计一个投资组合时，产品份数和手续费等可作为约束条件出现。
目标函数是数学模型的优化目标，例如成本、收益、效率或其他关键指标。
如图2所示，Maximize声明了模型的目标函数，目标为求1.2x+1.8y+2.1z的最大值；Subject To表示模型的约束条件，即x、y、z需满足的条件；Binaries定义了决策变量x、y、z为二值类型。
对于模型文件，优化求解器可读取文件并解析后，选择合适的算法进行求解，并得到最优的输出，即：选出一组满足约束条件的x、y、z值，使得1.2x+1.8y+2.1z最大。优化求解器计算流程如图3所示。
2.组合优化类问题的量子算法应用。与传统的组合优化算法相比，基于量子力学原理设计的量子算法具备更强的并行计算能力，可同时处理多种组合，理论上具有更高的计算效率和计算精度。
以量子近似优化算法为例，其原理是在组合优化问题和量子系统的量子态之间建立对应关系，然后通过系统量子态的演化求得问题的解。图4是量子近似优化算法权威论文里对算法量子线路的介绍，算法通过一系列的Ansatz线路，迭代地放大近似最优解对应的量子态的概率。在演化过程中，量子近似优化算法可并行地改变所有量子态对应的概率。
算法的计算精度可通过增加Ansatz中的线路深度或算法迭代次数来提升，但这样也会增加算法的部署难度和计算耗时。由于目前量子计算机和模拟器的性能有限，对算法线路规模存在限制。因此，学术界又提出了硬约束等方法来对算法线路进行特定优化，以降低算法部署、运行的难度。
硬约束方法的思想是通过设计合理的量子线路，使计算过程中量子态仅在满足约束条件的状态间演化，例如某个投资组合问题有投资的产品数只能为5的约束条件，则硬约束设计会使得量子算法仅在满足约束条件的量子态间迭代（调整概率）。
与增加Ansatz线路深度相比，硬约束可在不显著增加计算耗时和线路深度的同时提升计算精度。但硬约束需要为不同的约束条件构造专门的量子线路，并且不同约束条件间的算法线路构造思想可能会截然不同，算法线路设计难度较大。
随着量子计算技术发展，部分量子计算编程框架开始与传统建模工具对接，可以基于建模语言/工具描述的组合优化问题模型，生成相应的量子算法线路，省去了人工设计算法线路的步骤，从而降低量子算法应用研究的难度（如图5所示）。
3.量子编程框架与传统建模工具的融合应用研究。解决传统组合优化问题时，通常使用OPL等建模语言来对业务问题进行数学建模。OPL等建模语言需要配备专门的解释器，以解析、执行建模语句。除专门的建模语言外，业界也有开发SDK包形式的开源建模工具，如Pyomo等。
Qiskit是目前应用最广泛的开源量子计算编程框架，其Optimization库提供了传统建模方法与量子算法之间的适配接口。借助该接口，Qiskit可读取OPL、Pyomo等建模工具生成的模型文件（LP文件），并生成适配该数学模型的量子近似优化算法线路，直接对模型文件求解。
工商银行研究团队针对金融产品的投资组合优化场景，开展了Qiskit量子计算编程框架和OPL语言、Pyomo建模工具之间的融合应用探索。
金融产品的投资属于典型的组合优化问题，可根据既定的风险容许程度，将产品进行组合，使得在给定风险系数下，组合的预期收益与风险相关性整体最优。选择多只产品形成一个组合进行投资，可用均值方差模型综合分析预期收益与风险，其表达式为：
其中x表示可能的投资组合，取值为0或1；µ为平均净值增长率，代表产品的预期收益率；∑为产品的协方差，表示产品之间的关联性；q为风险权重系数，表示投资可承受的风险水平。均值方差值等于组合的预期收益减去组合的相关性风险，其值越大，表示综合风险考量下组合的收益越大。
研究团队基于均值方差模型，将股票的平均净值增长率作为预期收益率，并以增长率的协方差矩阵表示股票之间的关联性，分别使用OPL语言和Pyomo建模工具对m只股票选n只的组合优化场景进行建模，并保存为LP文件，再使用Qiskit进行验证。
量子近似优化算法适用于解决优化领域中的二次无约束二值优化问题，其中二次指问题的目标函数是非线性的，无约束指问题不能带有约束条件，二值指决策变量取值非0即1。
m只股票选n只的组合优化问题带有等式约束，即所选的产品数需为n。由于二次无约束二值优化问题不能带有约束条件，因此在使用量子算法求解该类组合优化问题之前，还需要对模型的约束条件进行特定的转化。
研究团队通过构造惩罚项的方式将约束条件添加至目标函数中，从而消除模型的约束条件。对于x1+x2+…+xm=n的等式约束条件，可附加一个非常大的常量c，构造惩罚项－c(x1+x2+…+xm－n)2并添加至原目标函数中。由于惩罚项只有在x1+x2+…+xm=n时才为0，因此算法在优化过程中，为了取得最大值，会尽力使决策变量满足约束条件。
为与基于通用线路结构的量子算法编程方案进行对比，研究团队分别采取三种不同方法对组合优化问题进行求解，并对比其计算结果及量子算法的线路深度。
一是基于OPL建模语言构建优化模型，并输出对应的优化文件，然后使用Qiskit读取模型文件，并自动构建量子近似优化算法线路进行求解。二是基于Pyomo建模SDK构建优化模型，并输出对应的优化文件，然后使用Qiskit读取模型文件，并自动构建量子近似优化算法线路进行求解。三是不使用建模工具建模，直接基于量子近似优化算法通用的线路结构设计量子线路，对问题进行求解。
验证结果（见表）显示三种方法都可以得到组合优化的最优解，而基于量子编程与传统建模融合的方案不仅降低了编程的难度，也降低了量子线路深度，在运行效率方面更具优势。主要结论包括如下。
表 计算结果对比
一是OPL和Pyomo生成的LP文件均可被Qiskit读取，生成的算法线路深度和求解效果相同，且两者与基于通用线路结构构造的量子近似优化算法均可得到最优解。二是基于优化文件构建的量子算法的线路深度小于基于通用线路结构构造的量子算法，原因是通用线路结构具有普适性，相对臃肿。而基于优化文件的量子算法设计方案会根据约束条件等自动构建针对性的量子线路，从而降低量子线路深度及运行耗时。
结 语
量子计算有望解决部分计算困难问题，而金融行业拥有海量数据和复杂计算场景，因此金融行业被视为是量子计算应用的热点领域之一。量子计算框架与传统建模工具的融合应用，可以降低组合优化场景量子算法设计与编程门槛，在不降低计算精度的同时还可以降低计算复杂度，有助于降低量子计算金融应用探索成本，为未来支持更多的金融同业加入量子算法应用研究，推动量子计算规模化应用提供了一条可行路径。
后续工商银行也将继续紧跟我国量子技术发展战略，与金融同业、量子科研机构加强合作，共同促进我国量子技术发展和产业生态完善。
（此文刊发于《金融电子化》2024年8月上半月刊）
